a) Encontrar, si existe, el estado estacionario de la cadena de markov dada la matriz de probabilidades:

$$
\prod = \begin{bmatrix}
(1-\lambda_{01}) & \lambda_{01}) \\ 
(1-\lambda_{11})) & \lambda_{11})
\end{bmatrix}
$$
El estado estacionario $[p1, p2]$ debe cumplir con la ecuaci\'on:
$$[p1, p2] \cdot \prod = [p1, p2]$$
$$
[p1, p2] \cdot \begin{bmatrix}
(1-\lambda_{01}) & \lambda_{01}) \\ 
(1-\lambda_{11}) & \lambda_{11})
\end{bmatrix} = [p1, p2]
$$

$$
\begin{cases}P_1 . (1- \lambda_{01} ) + P_2.(1-\lambda_{11}) = P_1\\
P_1 . \lambda_{01} + P_2 . \lambda_{11} = P_2\\
P_1 + P_2 = 1\end{cases}
$$
Tenemos 3 ecuaciones y 2 incognitas.La primera y la segunda ecuaci\'on no son linealmente independientes.Entonces no quedamos con:

$$
\begin{cases}P_1 . \lambda_{01} + P_2 . \lambda_{11} = P_2\\P_1 + P_2 = 1\end{cases}
$$
\vspace{5mm}
Despejando:
$$P_1. \lambda_{01} + (1-P_1). \lambda_{11} = 1-P_1$$
$$P_1 .(\lambda_{01} - \lambda_{11} +1) = 1 - \lambda_{11}$$
$$P_1 =  \frac{(1-\lambda_{11})}{(1-\lambda_{11})+\lambda_{01}}$$
$$P_2 = 1 - P_1 = \frac{\lambda_{01}}{(1-\lambda_{11})+\lambda_{01}}$$
\vspace{5mm}
$$P_{estacionario}= [\frac{(1-\lambda_{11})}{(1-\lambda_{11})+\lambda_{01}}, \frac{\lambda_{01}}{(1-\lambda_{11})+\lambda_{01}}]$$

b)Siendo $B_k$ el proceso que modela la secuencia de bits generados por la cadena de Markov, encontrar la media de $B_k$ en funci\'on de k.
\vspace{5mm}\\
Sea $P(0)$ el vector que tiene el estado inicial del proceso. El estado en el paso $n$ es:
$$
P(n) = P(0) \cdot {\prod}^n
$$
Calculamos la esperanza del proceso de Markov X(n) como:
$$
E[X(n)] = P(n) \cdot [0, 1]^T = P(0) \cdot {\prod}^n \cdot [0, 1]^T
$$
Por ser un proceso erg\'odico, para cualquier estado inicial se cumple:

$$
\lim_{n\to\infty} P(0) \cdot (\prod)^n = P_{estacionario}
$$

$$
\Rightarrow \lim_{n\to\infty} E[X(n)] = P_{estacionario} \cdot [0, 1]^T = \frac{\lambda_{01}}{(1-\lambda_{11})+\lambda_{01}}
$$
\vspace{5mm} 
c)Comparar los resultados anteriores y extraer alguna conclusi\'on.\\
d)¿Que sucede si $\lambda_{01}=1$ y $\lambda_{11}=0$\\
$$P_{estacionario}= [\frac{(1-0)}{(1-0)+1}, \frac{1}{(1-0)+1}]$$
$$P_{estacionario}= [\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]\\$$
e)Demostrar que si $\lambda_{01}=\lambda_{11}=p$ y el vector de probabilidad de estados incial $P(0)=[1-p,p]^T$, entonces $B_k$ es un proceso Bernoulli con par\'ametro $p$.

\vspace{5mm} 
Demostramos que vale para $n=1$:

$$P(0) = [1-p, p]$$
$$P(1) = [1-p, p] *
\begin{bmatrix}
(1-p) & p \\ 
(1-p) & p
\end{bmatrix} = [(1-p)^2 + p\cdot(1-p), p\cdot(1-p)+p^2] = [1-p, p]
$$

\vspace{5mm} 
Suponiendo que vale para $n$, demostramos que vale para $n+1$:

$$P(n+1) = [1-p, p] \cdot {\prod}^{n+1} = [1-p, p] \cdot {\prod}^{n} \cdot \prod = [1-p, p] \cdot \prod = P(0) = [1-p, p]
$$

\vspace{5mm} 
Por inducci\'on:
$$P(n)=[1-p, p] \forall n$$


